Question

Sa se arate ca functia f:(0,∞)→(1,3), f(x)=$\frac{x+3}{x+1}$ este bijectiva.

Answer 1

Calculam derivata functiei
$f^{\prime}(x)=\frac{(x+3)^{\prime}*(x+1)-(x+3)*(x+1)^{\prime}}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1-x-3}{(x+1)^{2}}=\frac{-2}{<span>(x+1)^{2}</span>}\leq 0$ Deci derivata este strict negativa pentru orice valoare a lui x pozitiv: atunci functia este strict descrescatoare, deci este strict monotona, adica este injectiva.  
Sa vedem acum ce plaja de valori ia f(x).
Cea mai mare valoare este obtinuta pentru x=0
$f(0)=\frac{0+3}{0+1}=3$
Cea mai mica valoare este obtinuta pentru x=+Inf
$lim_{Inf}\frac{x+3}{x+1}=lim_{Inf}\frac{x}{x}*\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1+\frac{3}{Inf}}{1+\frac{1}{Inf}}=1$
deci y este in (1,3) adica tocmai intervalul in care este reflectata functia, deci este si surjectiva.
Fiind injectiva si surjectiva, atunci inseamna ca e bijectiva.