Question

Sa se arate ca functia f:R->R , f(X)= cos x/2 + sin 3x/2 admite perioada numarul T =4 pi.

Answer 1

Este exact cum spune Alessio, nu e complicat.
T este o perioada a lui f daca f(x)=f(x+T) Hai sa vedem ce se intampla cand avem f(x+T) unde T=4pi
$f(x+T)=\cos{\frac{x+4\pi}{2}}+\sin{\frac{3(x+4\pi)}{2}}=\cos{\frac{x}{2}+\frac{4\pi}{2}}+\sin{\frac{3x}{2}+\frac{12pi}{2}}=\cos{\frac{x}{2}+2\pi}+\sin{\frac{3x}{2}+6\pi}$
Dar stim ca functiile sin si cos sunt periodice in 2pi adica
$\cos{x}=\cos{x+2k\pi}$ unde k e un nr intreg
atunci stim ca
$\cos{\frac{x}{2}}=\cos{\frac{x}{2}+2\pi}$ e aplicarea de sus pentru k=1
$\sin{x}=\sin{x+2k\pi}$ pentru orice k intreg
$\sin{\frac{3x}{2}}=\cos{\frac{3x}{2}+2*3*\pi}$ e aplicarea de mai sus pentru k=3
Atunci obtinem
$f(x+T)=\cos{\frac{x}{2}}+\sin{\frac{3x}{2}}=f(x)$ deci T este o perioada pentru functie.