Question

Sa se arate ca functia f : R → R, f(x)=cos x, nu are limita la -∞ si la +∞

Answer 1

Mai intai iti sugerez o rezolvare intuitiva. Cosx este o functie periodica, iar pentru x cuprins in intervalul dat de o perioada T=2pi,functia ia toate valorile intre [-1,1].Imagineaza-ti o astfel de sinusoida cat o perioada dar la o distanta foarte mare (spre infinit) de originea x=0 .E clar ca functia cosx nu tinde spre o anume valoare pentru x tinde spre infinit, deci functia specificata nu are limita la infinit!
Rezolvarea mai,, matematica'' presupune alegerea a doua subsiruri pentru x, ambele tinzand la infinit, dar pentru care lim cosx nu este unica!
Aleg x1=pi/2+2kpi
X2=0+2kpi
Pentru k tinzand la infinit ambele siruri tind la infinit, dar cosx1=0 si cosx2=1,deci limita pentru x tinzand la infinit nu este unica, deci functia nu are limita la infinit!