Question

Sa se arate ca in triunghiul ABC au loc relatiile
a)r=4R*sinA/2*sinB/2*sinC/2
b)p/4R = cosA/2*cosB /2*cosC/2
c)r=p*tgA/2*tgB/2*tgC/2
d)r=(p-a)*tgA/2

Answer 1

[sin A/2 ·sinB/2 ·sinC/2 ]²= ( p-b)·(p-c) /bc · ( p-a)·(p-c) /ac ·( p-a)·(p-b) /ab 
                                         
=( p-a)²·( p-b)²·( p-c)² / a²·b²·c²  aplicam radicalul
sinA/2 ·sinB/2·sinC/2 =  (p-a) ·(p-b)·(p-c) /abc =p ·(p-a)·(p-b)·(p-c)  / pabc
                                                                             = S² / p·a·b·c 
r = 4R· S² / p·a·b·c = 4·a·b·c· S²  / 4·S·p·a·b·c =  S / p adevarat
R = a·b·c / 4S 
b. [ cosA/2· cosB/2 · cos C/2 ] ² = p ( p-a) / bc · p( p-b) /ac ·p( p-c) /ab=
= p ³· (p-a)·(p-b)·(p -c)  / a²·b²·c²
aplicam radical 
          cosA/2·cosB/2·cosC/2  = p· S /a·b·c  = 4 ·p· S  / 4 ·a·b·c =  p /  4· R
 c. [ tgA/2 · tg B/2 · tgC/2 ]² = ( p-b)·(p-c)  / p( p-a)  ·  ( p -a) ·( p- c)  / p( p -b)·
          · ( p-b) ·( p-b)  / p ( p -c )
[tgA/2·tgB/2·tgc/2 ]² =  ( p-a ) · ( p-b) ·( p-c) / p³
                              =  p  ·  ( p-a ) · ( p-b) ·( p-c) /  p⁴ 
radical 
tgA/2 · tgB/2 · tgC/2 =  S / p²
 atunci E₂ = p · S / p ² = S /p   = r 
d.
( p-a ) ·√ ( p- b) ·( p -c)   / √ p ( p -a ) = S / p