Question

Sa se arate ca intr-un triunghi are loc relatia $\frac{1}{ h_{a} } + \frac{1}{ h_{b} } + \frac{1}{ h_{c} } = \frac{1}{r}.$
Multumesc mult!

Answer 1

Pornim de la relatia clasica stiuta
$r=\frac{S}{p}$ unde S este aria triunghiului si p este semiperimetrul triunghiului. Stim ca formula pentru arie poate fi exprimata si ca
$S=\frac{a*h_{a}}{2}=\frac{b*h_{b}}{2}=\frac{c*h_{c}}{2}$ adica inaltimea * baza supra 2.
Expresia semiperimetrului este
$p=\frac{a+b+c}{2}$
Din aceste 3 relatii obtinem
$\frac{1}{r}=\frac{p}{S}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S}=\frac{a}{2*\frac{a*h_{a}}{2}}+\frac{b}{2*\frac{b*h_{b}}{2}}=\frac{c}{2*\frac{c*h_{c}}{2}}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}$