Question

Sa se arate ca multimea G formeaza un grup in raport cu ligile precizate :

G={a+b√5| a,b ∈ Q*} cu inmultirea.

.multumesc.

Answer 1

Răspuns:

Fiidncă $5$ nu este un patrat perfect, inelul pătratic $\mathbb{Q}\left[\sqrt{5}\right]$ este un corp. În particular $(G,\cdot)$ este un grup abelian.

Explicație pas cu pas:

Am folosit următoare toeremă:

Fie $K$ un corp și fie $d\in K$. Sunt echivalente:

(1) $K\left[\sqrt{d}\right]$ este un corp;

(2) Nu există $c\in K$ pentru care $c^2=d.$

Demonstrație:

(1) implica (2)

Să presupunem, prin absurd că există acest $c\in K$. Deci $c+\sqrt{d},c-\sqrt{d}$ sunt elemete nenule din $K$, dar

$(c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d})=c^2-d=0$ ceia ce contrazice faptul de $K$ a fi un corp, pentru că nu admite divizori de zero.

(2) implica (1)

Dacă $K\left[\sqrt{d}\right]$ nu ar fi un corp, vom avea două cazuri:

1º: are un element nenul care nu este inversabil;

2º: are cel puțin un divizor de zero.

Vom considera doar primul caz. Al doi-lea este analog.

Dacă $K\left[\sqrt{d}\right]$ admite un element nenul care nu este inversabil, să zicem $a+b\sqrt{d}$ cu $a,b\in K$ Norma ei, definită prin:

$N(a+b\sqrt{d})=a^2-db^2$ nu este inversabilă. Dar norma ei este un element din $K$, ceia ce implică că doar putem avea:

$a^2-db^2=0$ adică $a^2=db^2$

De aici înțelegem că $a,b$ nu pot fi nule.

Continuând: $d=a^2b^{-2}=(b^{-1}a)^2$

Absurd, pentru că $b^{-1}a\in K$ contrariază ipoteza noastră înițială.