Question

Sa se arate ca multimea {x∈R | x²+mx+1=0} ∪ {x∈R | x²+4x+m²=0} are doua elemente, ∀m∈R.

Answer 1

x²+mx+1=0

Δ=m²-4

Deosebim   3     situatii

a)Δ>0 m²-4>0 m²-4=0   m²=4 M1=-2    m2=2

ecuatia    are    2     solutii

b) m∈(-2,2)  Δ<0   ecuatia nu    are     solut. multimea   respectiva    e     vida

c)m=+/2 Δ=0 ecuatia     are        2    solutii      confundate  ,   deci   multimea    are      un    singur    element

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x²+4x+m²=0

Δ `=16-4m²

Deosebim    3       situatii

d)) Δ `=16-4m²>0 4-m²>0 4-m²=0  m1/2=+/-2  m∈(-2)2)Ecuatia     are    2     solutii

e)pt   m∈R\(-2,2)  Δ `<0  ecuatia   nu     are     solutii   deci    multimea respectiva    e    vida

f)Δ `=0   m1/2=+/-2 Ecuatia   are 2   solutii    confundate   deci    multimea respectiva   are un singur  element

Vom    fi     in    una    din     urmatoarele    situatii

m∈R\(-2,2) prima    ecuatie    are   2      solutii,   sib   a     2-a   nici    una

Reuniunea    celor   2     multimi   are    2   elemente

m∈(-2,2) Prima   ecuatie    nu   are      solutii  si    a     2-a are     2     solutii

Reuniunea    lor    are     2    elemente

m=+/-2 Fiecare   ecuatie     are o   solutie.Reuniunea      lor     are      2     elemente

Caz ii)

x²+mx+1=x²+4x+m²

mx+1=4x+m²

mx-4x=m²-1

X(m-4)=m²-1

x=(m²-1)/(m-4)   m=/=4    Fals   deoarece    m∈R   din    ipoteza

Deci     acest  caz    este       imposibil