Question

Sa se arate ca:
n! >$2^{n}$
n≥5

Answer 1

P(n): n!>2^n

P(5): 5!=120>2^5=32, adevarat

Presupunem P(k) adevarat: k!>2^k.

Demonstram ca P(k+1) este adevarat: (k+1)!>2^(k+1).
Cum k!>2^k, pentru a demonstra (k+1)!>2^(k+1), este suficient de aratat ca (k+1)*2^k>=2^(k+1) <=> k+1>=2 <=> k>=1, ceea ce este adevarat.

Din P(5) adevarat si P(k) => P(k+1), oricare ar fi k>=5 numar natural deducem (pe baza inductiei matematice) ca P(n) este adevarat, oricare ar fi n>=5 numar natural.