Question

sa se arate ca numarul 3+3²+3³+.......+3¹⁹⁸³ este divizibil cu 13

Answer 1

Salut,

Suma din enunț are 1983 termeni, iar 1983 = 3·661, adică termenii sumei din enunț se pot grupa în 661 grupe, fiecare grupă are câte 3 termeni.

$S=\underbrace{3+3^2+3^3}_{Grupa\ 1}+\underbrace{3^4+3^5+3^6}_{Grupa\ 2}+\ldots+\underbrace{3^{1981}+3^{1982}+3^{1983}}_{Grupa\ 661}=\\\\=\underbrace{3(1+3+3^2)}_{Grupa\ 1}+\underbrace{3^4(1+3+3^2)}_{Grupa\ 2}+\ldots+\underbrace{3^{1981}(1+3+3^2)}_{Grupa\ 661}=\\\\=(1+3+3^2)(3+3^4+\ldots+3^{1981})=13\cdot(3+3^4+\ldots+3^{1981})=M13,\\unde\ M13\ este\ multiplu\ de\ 13,\ deci\ suma\ din\ enun\c{t}\ este\ divizibil\breve{a}\ cu\ 13.$

Green eyes.

Answer 2

3+3²+3³+.......+3¹⁹⁸³=3(1+3+3²)+$3^{4}$(1+3+3²)+$3^{7}$(1+3+3²)+......=13(3+$3^{4}$+$3^{7}$+$3^{10}$+....+$3^{1981$