Question

Sa se arate ca numarul 5^(n+2)*2^n*7^3-8575 este divizibil cu 63

Answer 1

5^(n+2) * 2^n * 7^3 - 8575 =

= 5^n * 5^2 * 2^n * 7^3 - 5^2 * 7^3 =

= 5^2 * 7^3 * (10^n - 1)

Dar 10^n - 1 va fi intotdeauna un numar divizibil cu 9, pentru ca suma cifrelor lui va fi un numar divizibil cu 9. (10^n-1 va fi 9 sau 99 sau 999 sau 999...999)

63 = 7 * 9, deci trebuie sa demonstram ca numarul dat este divizibil cu 7 si cu 9.

Numarul il are ca divizor pe 7 (unul dintre factori este 7^3)

Numarul il are ca divizor pe 9 (termenul 10^n - 1 este divizibil prin 9)

Atunci numarul este divizibil cu 63.

Answer 2

$5^{n+2}\cdot 2^{n}\cdot 7^3-8575 =\\ \\ = 5^{n}\cdot 2^n\cdot 5^2-5^2\cdot 7^3\\ \\ = 5^2\cdot 7^3\cdot (5^n\cdot 2^n-1)\\ \\ = 5^2\cdot 7^3\cdot(10^n-1)\\ \\ = 25\cdot 7^3\cdot\left[(9+1)^n-1\right]\\ \\ = 25\cdot 7^3\cdot \left[\left(M_{9}+1^n\right)-1\right)\\ \\ =25\cdot 7^2\cdot 7\cdot \left(M_{9}+1-1\right)\\ \\ = 25\cdot 7^2\cdot M_{7}\cdot M_{9}\\ \\ = 25\cdot 7^2\cdot M_{63}\\ \\ = M_{63}\quad \checkmark$