Question

Sa se arate ca numarul n =1^1997+2^1997+...1997^1997 nu este patrat perfect.

Answer 1

Răspuns:

Un pătrat perfect nu se termină în cifra 3.

Rezolvare:

n = 1¹⁹⁹⁷+2¹⁹⁹⁷+3¹⁹⁹⁷+...+1997¹⁹⁹⁷

★ Mai întâi aflu ultima cifra a primilor 10 termeni:

U(1¹⁹⁹⁷) = 1

U(2¹⁹⁹⁷) = U[(2⁴)⁴⁹⁹·2] = U(6⁴⁹⁹·2) = U(6·2) = 2

U(3¹⁹⁹⁷) = U[(3⁴)⁴⁹⁹·3] = U(1⁴⁹⁹·3) = 3

U(4¹⁹⁹⁷) = U[(4²)⁹⁹⁸·4] = U(6⁹⁹⁸⁸·4) = U(6·4) = 4

U(5¹⁹⁹⁷) = 5

U(6¹⁹⁹⁷) = 6

U(7¹⁹⁹⁷) = U[(7⁴)⁴⁹⁹·7] = U(1⁴⁹⁹·7) = U(1·7) = 7

U(8¹⁹⁹⁷) = U[(8⁴)⁴⁹⁹·8] = U(6⁴⁹⁹·8) = U(6·8) = 8

U(9¹⁹⁹⁷) = U[(9²)⁹⁹⁸·9] = U(1⁹⁹⁸⁸·9) = U(1·9) = 9

U(10¹⁹⁹⁷) = 0

★ Observăm că de la termenul 10¹⁹⁹⁷ încolo, ultimele cifre se repetă în cicluri de câte 10.

★ Ultima cifră a ciclului de 10 termeni este:

U(1+2+3+4+5+6+7+8+9+0) = U(45) = 5

★ Trebuie să aflu câte cicluri sunt:

1997:10 = 199 rest 7

• (sunt 199 de cicluri și mai rămân 7 termeni din ciclu liberi)

Ultima cifră a lui n este:

= U[(1+2+3+...+9+0) + (1+2+3+...+9+0) + ... + (1+2+3+...+9+0) + (1+2+3+...+7)]

= U[199·(1+2+3+...+9+0) + (1+2+3+4+5+6+7)]

= U(199·45 + 28)

= U(9·5 + 28)

= U(45 + 28)

= U(5 + 8)

= 3