Question

Sa se arate ca numarul n*(n+1)*(n+2) se divide cu 6 pt oricare n ∈N
As dori un raspuns complet , Multumesc!

Answer 1

Problema de divizibilitate are aplicații în relația de consecutivitate.
Știm că  din oricare 3 numere consecutive (n, n+1, n+2), cel puțin unul divide pe 3, pentru că, conform teoremei împărțirii cu rest, resturile posibile la împărțirea la 3 sunt 0,1,2, deci dacă avem rest0, avem împărțire exactă și divizibilitate.
Cum unul din numere divide pe 3, rezultă că n * n+1 * n+2 divide pe 3
Din oricare 3 numere consecutive naturale, cel puțin unul (pot fi și 2) divide pe 2, adică cel puțin unul este par
deci n sau n+1 divid pe 2 obligatoriu
Cum avem în cele trei numere unul care divide pe 3 și cel puțin altul care divide pe 2, rezultă că produsul este divizibil cu 6.

Answer 2

$Produsul~oricaror~doua~numere~naturale~consecutive~se \\ \\ divide~cu~2. ~Deci~n(n+1)~ \vdots ~2,~si,~prin~urmare~n(n+1)(n+2)~ \vdots ~2. \\ \\ Prin~impartirea~unui~numar~natural~la~3~putem~obtine~restului~0,1~ \\ \\ si~2.~Deci~un~numar~natural~are~una~din~formele~M_3~;~M_3+1~;~ \\ \\ M_3+2.$

$n=M_3 \Rightarrow n ~ \vdots~3 \Rightarrow n(n+1)(n+2)~ \vdots ~3 ,~iar~cum~(2,3)=1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow n(n+1)(n+2) ~ \vdots~6. \\ \\ n=M_3+1 \Rightarrow n+2 ~ \vdots~3 \Rightarrow n(n+1)(n+2) ~ \vdots~3,~iar~cum~(2,3)=1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow n(n+1)(n+2)~ \vdots~6. \\ \\ n=M_3+2 \Rightarrow n+1~ \vdots ~3 \Rightarrow n(n+1)(n+2)~ \vdots~3.~iar~cum~(2,3) =1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow n(n+1)(n+2)~ \vdots ~6. \\ \\ In~concluzie~n(n+1)(n+2)~ \vdots ~6~oricare~ar~fi~n \in N.$