Question

Sa se arate ca o functie al carei grafic are 2 axe de simetrie este periodica.

Answer 1

$\displaystyle Consideram~dreptele~de~ecuatii~x=a~si~x=b~(a \neq b)~ca ~fiind \\ \\ axele~de~simetrie~ale~functiei~f : \mathbb{R}\rightarrow. \mathbb{R} \\ \\ Avem,~deci~f(a+x)=f(a-x)~ \forall ~x \in \mathbb{R}~(1)~si~ \\ \\ f(b+x)=f(b-x)~ \forall ~x \in \mathbb{R}~(2). \\ \\ In~(1)~facem~x \rightarrow x+b,~si~obtinem~f(a+b+x)=f(a-b-x) \\ \\ \forall~ x \in \mathbb{R}. \\ \\ In~(2)~facem~x \rightarrow x+a,~si~obtinem~f(a+b+x)=f(-a+b-x) \\ \\ \forall ~x \in \mathbb{R}.$

$\displaystyle Din~ultimele~doua~relatii~rezulta~ f(a-b-x)=f(b-a-x) \\ \\ \forall~x \in \mathbb{R}. \\ \\ Facem~x \rightarrow -x+a-b~in~aceasta~ultima~relatie~si~obtinem \\ \\ f(x)=f(x-2a+2b) ~ \forall ~x \in \mathbb{R},~si~cum~-2a+2b \neq 0,~rezulta~ca~ \\ \\ f~este~periodica.$