Question

Sa se arate ca oricare ar fi m apartine R, parabola asociata functiei f:R->R,f(x)=x^2-mx+m^2+1 este situata deasupra axei Ox

Answer 1

În parabola unei funcții de gradul 2, de fapt, intersecțiile cu axa Ox sunt rădăcinile ecuației de graful 2 aferente funcției de gradul 2.

* În cazul în care parabola intersectează axa în 2 puncte, atunci cele 2 x-uri ale punctelor de intersecție sunt rădăcinile, de fapt. Și pentru ca cele 2 rădăcini să existe și să fie diferite (axa fiind intersectată în 2 puncte), atunci Δ > 0.
* Dacă parabola intersectează axa Ox într-un singur punct, adică dacă vârful parabolei trece prin axă, într-un singur punct, atunci avem o singură soluție, și implicit Δ = 0.
* Dacă parabola nu intersectează axa Ox deloc, atunci nu avem nicio soluție reală, asta se traduce prin Δ < 0.

Dacă în cerință se spune că nu intersectează Ox deloc, înseamnă că nu avem nicio soluție, și implicit că Δ < 0.

Deci exercițiul se reduce în:
„Demonstrați că Δ < 0, ∀ m ∈ R”

Aflăm Δ
Δ = (-m)² - 4(m²+1)*1 = (-m)² - 4(m²+1) = m² - 4m² - 4 = -3m² - 4
Δ = -3m² - 4
Acum trebuie să demonstrăm că acest Δ = -3m² - 4 este mai mic decât 0.
Având în vedere faptul că un număr real ridicat la a doua este întotdeauna pozitiv deducem și că m² va fi tot timpul pozitiv.
Doar că, dacă îl înmulțim cu -3, el va fi tot timpul negativ, ≤ 0.
Iar dintr-un număr negativ (-3m²) se scade un alt număr (4). În urma acestei scăderi, numărul va fi, logic, tot un număr negativ.

Deci pentru că m² ≥ 0 tot timpul, -3m² ≤ 0 va fi tot timpul așa, iar scăzând ceva dintr-un ≤ 0, rezultatul va fi un număr care sigur e < 0.

Așadar, Δ < 0, ∀ m ∈ R