Question

Să se arate că oricare triunghi echilateral ABC poate fi partiţionat în 3n+1 triunghiuri echilaterale, n ∈ ℕ .
Ajutor :c !

Answer 1

Fie triunghiul echilateral ABC si M,N,P mijloacele laturilor triunghiului ABC.
MN,NP si MP sunt linii mijlocii in triunghiul echilateral ABC.
Se formeaza 4 triunghiuri echilaterale: MNP, AMN,BMN si CNP.
Pentru n=0=> 3n+1=3*0+1=1 triunghi echilateral ABC
Pentru n=1=>3n+1=3*1+1=4 triunghiuri echilaterale MNP, AMN,BMN si CNP
Pentru n=2=>3n+1=3*2+1=7 triunghiuri echilaterale QRS,MQR,NRS,PQS (Q,R,S mijloacele triunghiului MPN), AMN,BMN si CNP
P(k):3k+1 triunghiuri echilaterale
P(0):3*0+1=1 triunghi echilateral
Presupunem P(k) adevarat si demonstram P(k+1) (A)
P(k+1):3*(k+1)+1=3k+4 triunghiuri echilaterale
Deoarece am presupus ca P(k) (A)=> triunghiul echilateral poate fi impartit in 3k+1 triunghiuri echilaterale 
Folosind rationamentul de mai sus, triunghiul din centru poate fi impartit in 4 triunghiuri echilaterale=> vom avea 3k+1+3=3k+4 triunghiuri echilaterale.