Question

Sa se arate ca pentru orice numar n ∈ N au loc relatiile:
a. 13 la n + 7 la n - 2 sa se divide cu 6

b. 3 la 2n + 1 + 2 la n + 2

Answer 1

a).
Reguli:
nr par+par=par
impar+impar=par
par+impar=impar
impar*impar=impar
par*impar=par

Cum $13^{n} si 7^{n}$ sunt nr impare, rezulta ca suma lor este para, deci suma totala este de forma:
par+par=par, deci suma  $13^{n} + 7^{n} -2$ este divizibila cu 2.
Observam ca 13=12+1=3*4+1=(multiplu de 3)+1=M3+1
7=3*2+1=M3+1
Iar $(M3+1)^{n} =M3+1$, deci:
 $13^{n} + 7^{n} -2=$
$(M3+1)^{n} + (M3+1)^{n} -2=$
(M3+1)+(M3+1)-2=M3+M3=M3 , deci suma este divizibila si cu 3.
Cum (2;3)=1, adica sunt prime intre ele, si 2 si 3 divid suma inseamna ca produsul 2*3=6 divide suma.

b). Se trateaza analog, daca cerinta este aceeasi. Astept lamuriri si voi corecta.