Question

Sa se arate ca sin(a+b)sin(a-b)=sin^2a-sin^2b, oricare a, b apartine lui R.

Answer 1

cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)  (*)

cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)  (**)

Scădem (**) cu (*):

sin(x)sin(y) + sin(x)sin(y) + 0 = cos(x-y) - cos(x+y)

⇒ 2sin(x)sin(y) = cos(x-y) - cos(x+y)

Înlocuim x = a+b, y = a-b

⇒  2sin(a+b)sin(a-b) = cos[a+b-(a-b)] - cos(a+b+a-b)

⇒  2sin(a+b)sin(a-b) = cos(2b) - cos(2a)

⇒  2sin(a+b)sin(a-b) = 1 - 2sin²(b) - [1 - 2sin²(a)]

⇒  2sin(a+b)sin(a-b) = 1 - 1 + 2sin²(a) - 2sin²(b)

⇒  sin(a+b)sin(a-b) = sin²(a) - sin²(b)

Answer 2

$\it sin(a+b)sin(a-b) =(sinacosb+sinbcosa)(sinacosb-sinbcosa)=\\ \\ =sin^2acos^2b-sin^2bcos^2a= sin^2a(1 -sin^2b) -sin^2b(1 - sin^2a)=\\ \\ = sin^2 a- sin^2asin^2 b- sin^2 b+sin^2 a sin^2 b =sin^2a -sin^2 b$