Question

sa se arate ca sirul (a indici n)indici n mai mare si egal cu 1,de termen general a indici n=n^2-n,este strict monoton

Answer 1

a(n) = n² - n 
a( n +1) = ( n +1 )² - ( n +1) 
a(n) -  a(n +1) = n² - n - [ ( n +1)² - ( n +1) ] = 
                     = n² - ( n +1) ² - n +n +1 = 
                     = ( n - n - 1)· ( n + n+1 )  + 1 = 
                     = -  2n  - 1 + 1 
                     = - 2n    , n∈ N          si   a(n) ≥ 1 
a(n)  - a(n +1 )   < 0 
a(n)  < a(n+1)   strict crescator

Answer 2

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2-(n+1)}{n^2-n}=\frac{(n+1)(n+1-1)}{n(n-1)}=\frac{(n+1)n}{n(n-1)}=\\ =\frac{n+1}{n-1}=\frac{n-1}{n-1}+\frac{2}{n-1}=1+\frac{2}{n-1}\ \textgreater \ 1,\ \forall n\geq2[/tex]
Mai trebuie facute observatiile:
   - sirul are termenii pozitivi, conditie necesara ca sa putem aplica criteriul cu raportul dintre 2 termeni consecutivi
  -a1=0, a2=2, a3=6 ..., deci a1 este cel mai mic termen.
Putem afirma ca sirul (an) este strict crescator,

Alte observatii:
Se spune "indice", nu "indici".
Pentru acest exemplu este mai indicata metoda utilizatirului Getatotan, dar am pus si aceasta rezolvare ca sa iti amintesc ca exista doua metode standard de studiu a monotoniei unui sir:diferenta a doi termeni consecutivi, raportul dintre doi termeni consecutivi, a doua metoda se aplica doar pentru siruri cu termenii pozitivi.