Question

Sa se arate ca sirul $x_{n}=(-1)^n \frac{n}{n+1}$, $n \geq 1$ este divergent.

Answer 1

un sir se numeste convergent atunci cand are o limita cand n tinde la infinit

adica exista un x astfel incat
$\lim_{n \to \infty} x_n =x$

iar un sir divergent nu are limita cand n tinde la infinit
(sirul asta e clar ca este divergent deoarece are acel -1^{n})

dar pentru demonstrare
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (-1)^{n}* n/(n+1)$

cand n tinde la infinit, fractia n/n+1 are limita 1
adica $\lim_{n \to \infty} n/n+1=1$

si deci in limita sirului ramane doar acel (-1)^{n} care variaza mereu (de la plus la minus in functie de paritatea lui n)

deci sirul nu are limita cand n tinde la infinit, deci este divergent