Question

Să se arate că suma dintre o serie convergentă şi o serie divergentă
este tot o serie divergentă. Există serii divergente a căror sumă este
o serie convergentă ?

Answer 1

Presupunem prin reducere la absurd ca ar exista o serie convergenta si una divergenta a caror suma sa fie convergenta. Notam cu $C$ seria convergenta, cu $D$ seria divergenta, si fie $X=C+D$ suma seriilor

Fie $c$ limita seriei $C$ si fie $x$ limita seriei $X.$ Aceste limite sunt finite.

Atunci $D=X-C$ are limita finita $x-c,$ contradictie cu divergenta lui D.

Exista serii diveregente a caror suma este convergenta. Luam doua serii opuse, iar atunci suma lor va fi o serie constanta (nula).

De exemplu seriile $\displaystyle H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ si $\displaystyle H_n'=- \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.$

Ele sunt divergente (avand limitele $+\infty,$ respectiv $-\infty$), dar suma lor este o serie constanta: $\displaystyle H_n+H_n'=0,$ deci convergenta.