Question

sa se arate ca suma tuturor numerelor naturale care dau acelasi cat la impartirea cu 2015 se imparte exact la 2015

Answer 1

La impartirea cu 2015, putem obtine un cat=c si resturi de la 0 la 2014, adica 2015 resturi posibile. Deci numerele care dau acelasi cat=c la impartirea cu 2015 sunt de forma (aplicat Teorema impartirii cu rest):
a1=2015*c+0
a2=2015*c+1
a3=2015*c+2
a4=2015*c+3
.................
a2015=2015*c+2014

Suma a1+a2+a3+...+a2015=2015*2015*c+(0+1+2+3+4+...+2014)
Calculam suma din paranteza cu ajutorul formulei lui Gauss:
1+2+3+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$, deci:

a1+a2+a3+...+a2015=
=2015*2015*c+$\frac{2014*2015}{2}$=
=2015*2015*c+1007*2015=M2015 (adica este multiplu de 2015), deci se imparte exact la 2015.