Question

Sa se arate ca $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab+ac+bc$

Answer 1

inmultim ex. cu 2 
2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2ac + 2bc 
2a² +       2b² +         2c²  - 2ab -2ac - 2bc ≥ 0 
↓               ↓              ↓
a²+a²         b²+b²         c²+c² 
a²  - 2ab + b²     +   a² - 2ac + c²       + b² - 2bc + c²   ≥ 0
( a - b) ²   +  ( a -c) ²  + ( b -c) ²  ≥  0         patratele sunt pozitive pentru orice a, b, ,c ∈ R

Answer 2

a²+b²+c²≥ab+ac+bc
a²+b²+c²≥10a+b+10a+c+10b+c
a²+b²+c²≥20a+11b+2c
a²≥20
a≥√20
a≥4,47213595499
b²≥11
b≥√11
b≥3,31662479035
c²≥2
c≥√2
c≥1,41421356237
E bine sau nu?