Question

Sa se arate ca:
$\sqrt[3]{16+8 \sqrt{5} }- \sqrt[3]{16-8 \sqrt{5} } =2 \sqrt{5}$

Answer 1

notam  x = rad(16 + 8√5)   -  rad( 16 - 8√5) 
                          ↓                      ↓
                        = a                    = b 
folosim formula  
x³ = ( a -  b) ³ = a³  -  3ab ·( a - b)  -  b³ 
x³ = 16  + 8√5 - 3 ·rad( 16 + 8√5) ·rad( 16  - 8√5) ·[ rad(16 +8√5 ) - rad(16 - 8√5)]  - 
                                                                          ///////////////////////////////////////
                                                                                =  x   
    - ( 16 - 8√5) 
x³ = 16 + 8√5  - 3 ∛(16²-8²√5²) · x  - 16 + 8√5 
x³ = 16√5  - 3 · ∛(256- 320)·x 
x³ = 16√5 - 3∛(-64) ·x 
x³ = 16√5 - 3 ∛(-4)³· x 
x³ = 16√5 - 3 ·(-4) ·x 
x³ = 16√5  + 12x 
ecuatia de gradul III         x³ -12x  -16√5 = 0  
are solutia     x = 2√5         , se verifica  ( 2√5)³ -12·2√5 -16√5 = 
                                         = 2³√5³ - 24√5 -16√5 = 
                                         = 8 ·√5²·√5 - 40√5 
                                           = 8 ·5√5 - 40√5 = 0 , adevarat