Question

Să se arate că un triunghi ABC în care are loc relația cos² A - cos²B + cos²C = 1 este dreptunghic.

Answer 1

unghiurile       A+ B + C = 180⁰
( cosA -  cos B ) · ( cosA + cosB )  + cos²C - 1 =0 
-2sin( A+B ) /2 · sin( A - B ) /2 ·  2cos( A + B ) /2 · cos( A - B ) /2 + cos²C =1
-2 sin( A + B ) /2 ·cos( A +B ) /2   ·2sin( A - B )/2 ·cos(A - B )/2 + cos²C =1 
                     ↓                                                ↓  formule
- sin( A + B ) · sin( A - B )  + (cosC -1) ·( cosC + 1) =0 
       A + B = 180⁰ - C          ; sin( A + B ) = sin( 180⁰ - C ) = sinC
- sin C ·sin ( A -B ) + ( cosC - cos0 ) ·( cosC + cos0 ) = 0 
-sinC ·sin( A - B ) - 2sin( C +0) /2 · sin( C -0 ) /2 ·   2 cos( C +0)/2·cos( C -0 )/2=0
- sin C · sin( A - B )  - 2 sinC /2  · cosC /2  · 2 sinC /2 · cosC /2 = 0 
                                              ↓                                   ↓ formule 
- sinC · sin(A -B ) - sinC · sinC =0 
- sinC  · [ sin ( A - B ) + sinC ] = 0  ;  in Δ sinC ≠0 
⇒  sin( A - B ) = - sinC    , sinx = functie impara 
sin( A - B  ) = sin( - C ) ⇒    A - B = -C 
A + C=B                      180⁰ - B =B     ; 180⁰ = 2B ⇒   B =180⁰ /2 =90⁰