Question

Să se arate că un triunghi ABC în care are loc relația sin(C/2)=c/(a+b) este isoscel. (a=BC, b=AC, c=AB)

Answer 1

cu teorema  sin :   a / sinA   = b  / sinB   = c /sinC  = 2R 
a = 2RsinA          ;  b = 2R sinB         ; c = 2RsinC 
sin C / 2 =  2RsinC    / 2R · ( sinA + sinB ) 
sinC/2  = sin C    / ( sinA + sinB )                dar sinC = sin(2 · C /2 ) =
                                                                        = 2·sinC / 2 · cosC / 2 
sin C /2  = 2 ·sinC /2 · cosC /2     /  ( sinA + sinB ) 
1 = 2· cosC / 2        /  ( sinA + sinB ) 
sinA + sinB = 2· cos C / 2         ; in Δ  : A + B + C = 180 
2sin ( A + B ) / 2 · cos( A - B ) / 2  = 2 · cosC / 2 
 sin ( A + B ) / 2 · cos( A - B ) / 2  = cosC / 2 
                  sin( A + B ) / 2  = sin( 180 - C ) /2 =  sin ( 90 -  C / 2 ) = cosC / 2 
          ↓
   cosC /2  · cos( A - B ) / 2  = cos C / 2   
     cos( A - B ) / 2  =  1  dar  1 = cos0 
cos( A - B ) / 2 = cos 0 ⇒           A - B = 0 
A =B  ⇒ Δ ABC isoscel , de baza AB

Answer 2

[tex]\sin\frac{C}{2}=\sqrt\frac{1-\cos C}{2}=\sqrt\frac{1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{2}=\sqrt\frac{\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2ab}}{2}=\\=\sqrt\frac{c^2-(a-b)^2}{4ab}=\frac{c}{a+b} \Leftrightarrow\\ \frac{c^2-(a-b)^2}{4ab}=\frac{c^2}{(a+b)^2}\Leftrightarrow\\ c^2(a+b)^2-[(a-b)(a+b)]^2=4abc^2\Leftrightarrow\\ a^2c^2+2abc^2+b^2c^2-[(a-b)(a+b)]^2=4abc^2\Leftrightarrow\\ a^2c^2-2abc^2+b^2c^2=[(a-b)(a+b)]^2\Leftrightarrow\\ c^2(a-b)^2=[(a-b)(a+b)]^2\Leftrightarrow c^2=(a+b)^2\text{ sau }a-b=0\\ [/tex]
Prima varianta nu se poate realiza intrucat au loc inegalitatatile triunghiulare, ramane a doua valabila, adica:
a-b=0 ⇒ a=b