Question

Sa se arate ca urmatarele funcții sunt bijective si sa se determine. Va rog mult!!!
${f}^{ - 1}$
​

Answer 1

Răspuns:

a)surjectivitatea

x->-∞, f(x)->∞; x->1, f(x) ->5-1=4

injectivitatea ; x1≠x2, x1-x2≠0⇒

f(x1)-f(x2)=5-x1- (5-x2)=x2-x1≠0 deci f(x1)≠f(x2)

deci bijectiva

y=-x+5

x=y+5

f^(-1)(x)= x+5, functia inversa

b) x->-∞, f(x)->-∞

x=2, y=3*2+4=10

surjectiva

x1≠x2, f(x1)-f(x2) =3(x1-x2)≠0, f(x1)≠f(x2) injectiova

deci bijectiva

functia inversa:

y=3x+4

3x=y-4

x=y/3 -4/3

f^(-1) (x)=x/3-4/3

c) x->-2, x>-2, f(x)->-7/+0=-∞

x->-2, x<-2 f(x)->-7/-0=+∞

x->∞, f(x) ->3; x->-∞, f(x) ->3x/x=3

f(x) =(3x-1)/(x+2)=(3x+6-7)/(x+2)=3-7/(x+2)

x+2 crescatoare pe R\{-2}, 1/(x+2) descrescatoare,, -7/(x+2) crescatoare, 3-7/(x+2) crescatoare pe R\{-2} deci injectiva cum ia toate valorile din R\{3} f(x) surjectiva si injectiva, deci bijectiva

functia inversa:

y=(3x-1)/(x+2)

xy+2y=3x-1

xy-3x=-1-2y

3x-xy=2y+1

x( 3-y)=2y+1

x= (2y+1)/(3-y)

f^(-1)(x)= (2x+1)/(3-x)

d) analog

(6x+1)/(3x-4 )

la +4/3 ->∞

la-4/3->-∞

la ∞si la -∞ tinde cate 6x/2x=2

(6x-8+9)/(3x-4)=2+9/(3x-4)

3x-4 crescatoare, 9/(3x-4) descrescatoare, 9/(3x-4) descrescatoare pr R\ {4/3} deci injectiva cum ia toate valorile intre -∞si ∞ este si surjectiva, deci bijectiva

Functia inversa:

f(x) =y=(6x+1)/(3x-4)

3xy-4y=6x+1

3xy-6x=4y+1

x(3y-6)=4y+1

x=(4y+1)/(3y-6)

f^(-1)(x)= (4x+1)/(3x-6)

Bonus ; grafice

f(x) = (3x-1)/(x+2)

si

f(x)= (6x+1)/(3x-4)