Question

Sa se arate ca urmatoarea ecuatie are numai 4  solutii intregi
4x + $(x+y-2)^{2}$ + 4y = $2y^{2}$ + 2xy +11

Answer 1

4x+x^2+y^2 +4+ 2xy - 4y - 4x = 2y^2 +2xy+11
se reduce 2xy si 4x
x^2+y^2+4- 4y  =2y^2+11
x^2+y^2-2y^2 - 4y + 4 - 11 =0
x^2- y^2 - 4y - 4  -3=0
x^2-(y+2)^2=3
(x-y-2)(x+y+2)=3
singurele variante posibile ar fi  1*3=3 sau 3*1=3
⇒ x-y-2=1 si x+y+2=3
adica x-y=3 si x+y= 1 ⇒ 2x=4 ⇒ x=2 si y= -1
   sau
x-y-2=3 si x+y+2=1
adica x-y=5 si x+y= - 1⇒ 2x=4 ⇒ x=2 si y= -3