Question

sa se arate ca urmatoarea functie este integrabila f:[0,2]->R, f(x)=(x-[x])/(2x+1-[x])

Answer 1

x=[x]+{x}=>
x-[x[={x}inlocuiesti  si  aflii  f
f(x)={x}/(x+1+x-[x]}={x}/(x+1+{x})
Explicitezi  f(x)
f(x)={0  pt  x=0
{ {x}/(x+1+{x}}    x∈(0,1)
{0  x=1
{ {x}/(x+1+{x}) x∈(1,2)
{0  pt  x=2
___________
O  functie  este  integrabila  daca  are  proprietatea  Darboux  adica  transforma  un  interval intr-un  alt  interval
Pt  aceasta  demonstrezi  ca  este  continua  la  dreapta  lui  0,  in  1  si  la  stanga  lui  2
x→0 x>0 limf(x)=0/1=0
f(o)=0
Ld=f(o)=>  f  continua  in  o
 
Ls;x→1  x<1  lim f(x)=0/(1+1+0)=0
Ld x→1 x>1  lim f(x)=0/(1+0+0)=0
f(0)=0
Ls=Ld=f(1)=0  =>  f  continua  in  1
Analog  in  x=2
Ls x→2  x<2  lim f(x)={2}/(2+1+{2})=0/(3+{0})=0
f(2)=0
Observi ca  pt  x∈(0.1)U(1,2)  f(x)∈(0,1) pt  ca numaratorul  e  subnitar  si  numitorul  supraunitar=>
f[0,2]=[0,1) deci  f  integrabila  pe  acest  domeniu