Question

sa se arate că următoarea serie este convergentă și să se stabilească suma:​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Este o suma telescopica :

Sn = 1 / 1 · 4 + 1 / 2· 5 + ... + 1 / n(n+3)

3 · Sn =  3 / 1 · 4 + 3 / 2 · 5 + ... 3 / n(n+3)

3 · Sn = (4 - 1) / 1 · 4 + (5 - 2) / 2 · 5 + ... + (n+3 - n) / n(n+3)

3 · Sn = 1  - 1 / 4 + 1 / 2 - 1 / 5 + 1 / 3 - 1 / 6  + .... + 1 / n - 1 / n+3

3 · Sn = 1  + 1 / 2 + 1 / 3 - 1 / (n + 1) - 1 / (n + 2) - 1 / (n + 3)

3 · Sn =  11 / 3  - 1 / (n + 1) - 1 / (n+2) - 1 / (n + 3)

Sn = 11 / 9 - 1 / 3(n+1) - 1 / 3(n+2) - 1 / 3(n+3)

Avem ca lim Sn = 11 / 9 - 0 - 0 - 0 = 11 / 9, deci seria este convergenta

Answer 2

► O metoda (interesanta) pentru determinarea convergentei :

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+3n}$

$\frac{1}{n^3} \leq\frac{1}{n^2+3n} \leq \frac{1}{n^2}$

Stiind ca seriile cu termenii $\frac{1}{n^3} , \frac{1}{n^2}$ sunt convergente (fiind serii armonice generalizate Riemann cu exponent $\geq 2$) rezulta ca seria data este convergenta

► Pentru determinarea sumei :

• Observam ca :

$\frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{n} -\frac{1}{n+3})$

• Deci, inlocuind :

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3} (\frac{1}{n} -\frac{1}{n+3}) = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n} -\frac{1}{n+3}) = \frac{1}{3}( \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}) - \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n+3}) )$

• Diferenta de sume este egala cu :

$\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}) - \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n+3}) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} +\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... -(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}+...)\\\\=1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} = \frac{11}{6}$

• Daca ne intoarcem :

$\frac{1}{3} ( \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}) - \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n+3})) =\frac{1}{3} * \frac{11}{6} = \frac{11}{18}$