Question

Sa se arate ca urmatoarele ecuatii au cel putin o solutie in intervalul dat:
a) x+1 +sinx=o, I=[-pi/2,0]
b)x^3+5x^2 +4x-9=0, I=[0,1]

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Daca la extrenitatile intervalului [a;b], functia continue, generata de partea stanga a ecuatiei, obtine valori de semne diferite, adica f(a)·f(b)<0, ⇒ ca pe intervalul [a;b], functia are cel putin o solutie.

a) fie f(x)=x+1+sinx, e continue, ca o suma de functii elementare continue.

Verificam semnul, f(-π/2)·f(0)=(-π/2 +1+sin(-π/2))·(0+1+sin0)=

(-π/2 +1+0)·(0+1+0)=(-π2 +1)·1=-π/2 +1=1- π/2=2/2  - π/2=(2-π)/2<0, deoarece 2-π<0. Deci in intervalul [-π/2;0] ecuatia are cel putin o solutie.

b) fie f(x)=x³+5x²+4x-9. functie polinomiala continue.

Verificam semnul, f(0)·f(1)=(0³+5·0²+4·0-9)·(1³+5·1²+4·1-9)=(0+0+0-9)·(1+5+4-9)=(-9)·1<0, deci Deci in intervalul [0;1] ecuatia are cel putin o solutie.