Question

Sa se arate ca urmatoarele functii sunt bijective:

Answer 1

e)

Pp ca f(x1) = f(x2)

x1^3 + x1 = x2^3 + x2
x1^3 - x2^3 + x1 - x2 = 0
(x1 - x2) ( x1^2 + x1x2 + x2^2) + x1 - x2 = 0
(x1 - x2) ( x1^2 + x1x2 + x2^2 +1) = 0

O solutie este x1 = x2 ceea ce ne convine.
Trebuie sa aratam ca a doua paranteza nu are solutii.

x1^2 + x1x2 + x2^2 + 1 = 0
Imi propun sa arat ca x1^2 + x1x2 + x2^2 > 0 pentru orice x1 x2, si daca aratam asta, inseamna ca si x1^2 + x1x2 + x2^2 + 1 > 0.

Pai luam si analizam x1^2 + x1x2 + x2^2 = 0
Impartim la x2^2 si obtinem
x1^2/x2^2 + x1/x2 + 1 = 0
Notam raportul x1/x2 cu y
Avem
y^2+y+1 = 0
Discriminantul este negativ (-3) deci nu avem solutii. Ceea ce inseamna ca expresia are mereu semnul constant, si anume pozitiv, deoarece coeficientul lui y este pozitiv.
Am demonstrat ce ne-am propus.

Asta inseamna ca a doua paranteza nu are solutii.
Pai asta inseamna ca f(x1) = f(x2) are ca unica solutie pe x1=x2
Deci functia e injectiva.
Imediat editez si cu continuarea.
Asta a fost cea mai grea parte.
Ca sa verificam surjectivitatea, avem de a face cu o functie de gradul 3, al carei domeniu este multimea nr reale, deci imaginea ei, fiind functie de grad 3, este de asemenea multimea nr reale. Codomeniul coincide cu imaginea functiei.
Ca sa demonstram asta nu se face prea usor.
Trebuie sa aratam ca pentru orice y real, exista un x real astfel incat f(x)=y

Adica
y = x^3 + x (y este fixat)
x^3 + x - y = 0 (x e real)
Asta este o ecuatie de grad 3.
Orice ecuatie de grad 3 are cel putin o solutie daca argumentul poate fi luat de oriunde din multimea nr reale, in limbaj matematic avem domeniul de definite multimea nr reale, deci functia are cel putin o solutie.
Asadar pentru orice y real exista un argument x al functiei pentru care f(x) = y.
f)
Pp ca f(x1) = f(x2)
x1^2 = x2^2
Avem solutiile x1 = x2 si - x2
Dar domeniul de definitie este [0, inf)
Deci singura solutie este x1 = x2.
Asta inseamna ca e injectiva.
Surjectiva...pai pentru orice y real exista un x real astfel incat f(x) = y, pentru ca oricare ar fi y real, exista radical din y din domeniu de definitie care sa satisfaca egalitatea, deci e surjectiva.