Question

Sa se arate ca urmatoarele functii sunt bijective si sa se afle invesele acestora:
a) f:(- infinit , 1 ) -> (4 , + inf) , f(x)= 5-x
b) (-inf, 2] ->(-inf , 10] , f(x)=3x+4
c)f:R / {-2} -> R / {3} , f(x)=$\frac{3x-1}{x+2}$
d)f:R / $\frac{4}{3}$ -> R / {2} , f(x)= $\frac{6x+1}{3x-4}$

Answer 1

b) surjectiva
f(2)=6+4=10 feste  crescatoare  pt  ca  coef  lui  x adica  3>.0  deci  ∀ x<2 exista  f*x)∈(-∞ 10] care  verifica  relatia  deci  Imf(x)=(-∞,10]=codomeniul  => f  surjectiva
injectiva
fie  x1  x2∈(-∞ ,2]  a.i. f(x1)=f(x2)  3x1+4=3x2+4  =.  x1=x2  Deci  f injectiva
Daca  f  e  injectiva si  surjectiva  e  bijectiva
inversa  f(x)=y
y=3x+4  => x=(y-4)/3  facem  schimbarea  y→x  f^-1(x)=(x-4)/3 -inversa
c)Surjectiva f(x)=y y=(3x-1)/(x+2)=> xy+2y=3x-1 =>xy-3x=-2y-1=>
x=(2y+1)/(3-y)  Se  observa  ca  ∀y∈R exista   x ∈R/{-2}  care  sa  veifice  relatia
deci  f  surjectiva
injectiva  fie  x1 ≠x2  a.i  f(x1)=f(x2)=>(3x1-1)/(x+2)=(3x2-1)/(x2+2)
(3x1-1)(x2+2)=(3x2-1)(x1+2)
3x1x2-x2+6x1-2=3x1x2-x16x2-2=>
5(x1-x2)=0  =>  x1=x2  deci  f(x1)=f(x2)  implica  x1=x2  f  injectiva
Daca  e  injectiva  si  surjectiva  atunci  e  bijectiva
Inversa
f(x)=y
y=(3x-1)/(x+2)  xy+2y=3x-1
x(y-3)=-2y-1
x=(2y+1)(3-y)    y→x  f^-1(x)=(2x+1)/(3-x)  inversa
d-) surjectivitate
fie  f(x)=y  y∈R/{2]  Notam  f(x)=y
(6x+1)/(3x-4)=y  6x+1=3xy-4y=> 6x-3xy=-1-4y=>
x=(1-4y)/(6-3y)  se  observa  ca  ∀y=/2 exista  x  real  care  sa  verifice  egalitatea  .Deci Imf=R/{2}=codomeniu.  f  este  surjectiva
injectiva
fie  x1≠x2  a incat  f(x1)=f(x2)
(6x1+1)/(3x1-4)=(6x2+1)/(3x2-4)
18x1x2+3x2-24x1-4=18x1x2+3x1-24x2-4
3(x2-x1)+24(x2-x1)=0=>  27(x2-x1)=0  deci  f(x1)=f(x2)=>  x1=x2  =>  f  injectiva
daca  e  injectiva  si  surjectiva  atunci  e  bijectiva
inversa
f(x)=y 
s-a  aratat  anterior  ca  x=(1-4y)/(6-3y)  y→x  f^-1(x)=(1-4x)/(6-3x)