Question

Sa se arate ca urmatoarele functii sunt bijective si sa se afle inversele acestora:
1) f:(-inf,2]->(-inf,10] f(x)=3x+4
Va rog sa imi explicati.. din asta am test luni.

Answer 1

f(x1)=f(x2) <=> 3x1+4=3x2+4 <=> 3x1=3x2 <=> x1=x2, oricare ar fi x apartine (-inf,2]. => f este injectiva.

Fie y apartine (-inf,10].
Cautam x apatine (-inf,2] astfel incat f(x)=y.
f(x)=y <=> 3x+4=y <=> x=(y-4)/3.
x<=2 <=> (y-4)/3<=2 <=> y-4<=6 <=> y<=10, adevarat.
Deci x=(y-4)/3 apartine (-inf,2] si f(x)=y. => f este surjectiva.

f injectiva si f surjectiva <=> f bijectiva <=> f este inversabila.

Am obtinut mai sus ca x=(y-4)/3, deci inversa lui f este functia f^(-1):(-inf,10]->(-inf,2], f^(-1)(x)=(x-4)/3.