sa se arate ca urmatoarele functii sunt injective:a) f:R->R ,f(x)=4x+3. ajuta ti ma va rog!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns
da, asa e, mi-a spus mie domnu 'de mate!!
absolut adevarat...singurul amanunt e ca mi-a spus-o acum sa tot fie vreo...46-47de ani ::)))
Explicație pas cu pas:
a) functiede grad 1= ax+b..cu a≠0 toate acestea sunt injective ;se poate arata usor ca pt x1≠x2, f(x1)≠f(x2) ⇔f(x1)-f(x2)≠0 pt ca 4(x1-x2)≠0
extra sunt si bijective si deci admit inversa, tot o functiede grad 1, daca te intreaba cineva dupa vacanta sau dupa inca vreo 3 ani, pe la BAC...
b) f(x) =x+7 , pt x>0 si problema se reduce la cazul a)
c) este tot o functie de grad 2 cu 2 ramuri cea de la [-b/2a ;∞) fiind strict crescatoare, deci injectiva si -b/2a =-(-6)/2=3
vezi monotonia functiei de grad 2
extra ea ar fi fost injectiva si pe [4;∞) sau (2018;∞) nu insa si pe (2;∞)
d) analog..functiede grad2 ramura descrescatoare pe(-∞;-b/2a]=(-∞;0/2]=
(-∞;0]
ca idee, ea ar fi fost injectiva si [pe (-∞;-1] si pe (-∞;-2018] nu insa si pe (-∞;1) de exemplu
Răspuns
Explicație pas cu pas:
(f:D-->R este inj) ⇔ (∀x1≠x2, x1,x2∈D, f(x1)≠f(x2))
Pentru functiile liniare(a si b) este mai mult decat EVIDENT ca sunt injective:
fie x1≠x2 ⇔ x1-x2≠0 ⇒ f(x1) - f(x2) = 4x1 + 3 - 4x2 -3 = 4(x1-x2) ≠ 0
Acceasi demonstratie este valabila si pentru b, cea cu modul, mai ales ca modulul dispare avand domeniul de definitie R+ si astfel f(x) = x+7
c) Sa cercetam de ce s-a impus domeniul de definitie [3,+∞):
f´(x) = 2x -6 care are zeroul in x=3. In dreapta lui x=3 f´are semnul + ⇒ f este STRICT crescatoare pe [3,+∞). Este ramura parabolei pt Gf pe domeniul dat si este injectiva.
d) la fel si pt aceasta functie. Gf(graficul lui f)/(-∞,0) este o ramura strict descrescatoare a parabolei generate de functia f, deci injectiva(fiind STRICT descrescatoare).