Question

Sa se arate ca urmatoarele functii sunt periodice:
f:R-->R, f(x)={x/2}

f:R-->R,f(x)={(x^2-x)/3}

Va rog frumos!!!

Answer 1

{a}= partea zecimala a numarului, de aici ⇒ daca K intreg avem {K+a}={a}, zecimalele lui K+a si  ale lui a raman aceleas.
1) Deci  daca f(x)={x/2}=f{(x+t)/2}=  f{x/2+t/2}, ori care ar fi x∈R, t/2 trebue sa fie intreg, orice numar par e o perioada, cea principala este cea mai mica pozitiva adica T=2,
2) Analog f(x)={  $\frac{ x^{2} -x}{3}$ }iar  f(x+t)$={ {\frac{(x+t)^2-(x+t)}{3}$}={${\frac{x^2-x}{3}+t \frac{2x-3}{3}$}=f(x), oricare ar fi x, are loc numai daca $t \frac{2x-3}{3}$,esta intreg, oricare ar fi x, dar asta nu e posibil caci depinde de x, ca urmare aceasta functie nu e periodica.