Question

Sa se arate ca x² + 3xy + 4y² ≥0, ∀x,y apartin R.

Answer 1

Poti  calcula  maximum  si  cu  formula
(x+2y)²≥0 
daca  x,y  sunt  simultan  pozitive/negative inegalitatea  e  evidenta.Daca   x  ,y  sunt  de  semn  contrar,  apklici  formula  de  mai  sus
0≤x²+4xy+y²<x²+3xy+4y²
inegalitatea  a  fost  demonstrata

Answer 2

Mi s-a părut un pic greșită rezolvarea lui Electron așa că am venit și eu cu una:
Să încadrăm membrul stâng:
$x^{2} +2xy+y^2+3y^2 \leq x^2+3xy+y^2 \leq x^2+4xy+4y^2 \\ \\ (x+y)^2+3y^2 \leq x^2+3xy+y^2 \leq (x+2y)^2$

Se observă că
$(x+y)^2+3y^2 \ \textgreater \ 0$
și
$(x+2y)^2\ \textgreater \ 0$

deci putem afirma că $x^{2} +3xy+4y^2\ \textgreater \ 0, \forall x,y \in R$