Question

Sa se calculeze
1. Integrală din (1-x+x la a 2 a)dx
2. Integrală din (3+x la a 3 a)dx
3. Integrală din (5x la a 2 a -4x)dx
4. Integrală din (x-3) la a 2 a dx
5. Integrală din 1 pe x la a 3 a dx

Answer 1

$1) \int(1 - x + {x}^{2} ) \: dx$

$= \int1 \: dx - \int x \: dx + \int {x}^{2} \: dx$

$= x - \frac{ {x}^{1 + 1} }{1 + 1} + \frac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1}$

$= x - \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{ {x}^{3} }{3} + C$

$2) \int(3 + {x}^{3} ) \: dx$

$= \int3 \: dx + \int {x}^{3} \: dx$

$= 3 \int1 \: dx + \frac{ {x}^{3 + 1} }{3 + 1}$

$= 3x + \frac{ {x}^{4} }{4} + C$

$3) \int(5 {x}^{2} - 4x) \: dx$

$= \int5 {x}^{2} \: dx - \int4x \: dx$

$= 5 \int {x}^{2} - 4 \int x \: dx$

$= 5 \times \frac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1} - 4 \times \frac{ {x}^{1 + 1} }{1 + 1}$

$= 5 \times \frac{ {x}^{3} }{3} - 4 \times \frac{ {x}^{2} }{2}$

$= \frac{5 {x}^{3} }{3} - 2 {x}^{2} + C$

$4) \int {(x - 3)}^{2} \: dx$

$= \int( {x}^{2} - 6x + 9) \: dx$

$= \int {x}^{2} \: dx - \int6x \: dx + \int9 \: dx$

$= \frac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1} - 6 \int x \: dx + 9 \int1 \: dx$

$= \frac{ {x}^{3} }{3} - 6 \times \frac{ {x}^{1 + 1} }{1 + 1} + 9x$

$= \frac{ {x}^{3} }{3} - 6 \times \frac{ {x}^{2} }{2} + 9x$

$= \frac{ {x}^{3} }{3} - 3 {x}^{2} + 9x + C$

$5) \int \frac{1}{ {x}^{3} } \: dx = \int {x}^{ - 3} \: dx = \frac{ {x}^{ - 3 + 1} }{ - 3 + 1} = \frac{ {x}^{ - 2} }{ - 2} = - \frac{ {x}^{ - 2} }{2} + C$