Question

Să se calculeze această sumă, fără etapele inducției matematice. Vă rog să-mi arătați cum trebuie să procedez pentru a obține rezultatul n(n+1)/4n+2 .

Answer 1

Explicație pas cu pas:

termenul general al sumei îl putem scrie astfel:

$T_{n} = \dfrac{n^{2}}{(2n - 1)(2n + 1)} = \dfrac{4n^{2}}{4(2n - 1)(2n + 1)} =$

$= \dfrac{4n^{2} - 1 + 1}{4(2n - 1)(2n + 1)} = \dfrac{(2n - 1)(2n + 1) + 1}{4(2n - 1)(2n + 1)}$

$= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4(2n - 1)(2n + 1)} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{2}{(2n - 1)(2n + 1)}$

$= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{2n + 1 - (2n - 1)}{(2n - 1)(2n + 1)}$

$= \boxed {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} \cdot \Big(\dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1}\Big)}$

atunci, suma devine:

$S = \dfrac{1^{2}}{1 \cdot 3} + \dfrac{2^{2}}{3 \cdot 5} + ... + \dfrac{n^{2}}{(2n - 1)(2n + 1)} =$

$= \dfrac{1^{2}}{(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)} + \dfrac{2^{2}}{(2 \cdot 2 - 1)(2 \cdot 2 + 1)} + ... + \dfrac{n^{2}}{(2n - 1)(2n + 1)}$

$= \Big[\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} \cdot \Big(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3}\Big)\Big] + \Big[\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} \cdot \Big(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\Big)\Big] + ... + \Big[\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} \cdot \Big(\dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1}\Big)\Big]$

$= \dfrac{n}{4} + \dfrac{1}{8} \cdot \Big(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1}\Big)$

$= \dfrac{n}{4} + \dfrac{1}{8} \cdot \Big(1 - \dfrac{1}{2n + 1}\Big) = \dfrac{n}{4} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{2n}{2n + 1}$

$= \dfrac{n}{4} + \dfrac{n}{4(2n + 1)} = \dfrac{n(2n + 1) + n}{4(2n + 1)}$

$= \dfrac{2n(n + 1)}{4(2n + 1)} = \bf \dfrac{n(n + 1)}{2(2n + 1)}$

q.e.d.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas: