Question

Sa se calculeze aria domeniului plan limitat de graficul functiei $f:(0, { \infty}) \to \ R, f(x)=lnx$ si segmentul ce uneste punctele graficului de abscise 1 si e .

Answer 1

Segmentul are capetele în punctele $A(1,0), \ B(e,1)$
Ecuația dreptei AB este: $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\Rightarrow y=\frac{x-1}{e-1}$. Funcția care are graficul acest segment este $g(x)=\frac{x-1}{e-1}$. Graficul funcției f este deasupra graficului funcției g pe intervalul $[1,e]$.
Atunci aria este $\int_1^e\left[f(x)-g(x)\right]dx=\int_1^e\left{\ln x-\displaystyle\frac{x-1}{e-1}\right)dx=\int_1^e\ln xdx-\int_1^e\frac{x-1}{e-1}dx$.
Avem $\int_1^e\ln xdx=\int_1^ex'\ln xdx=\left. x\ln x\right|_1^e-\int_1^ex\cdot\frac{1}{x}dx=e-\left. x\right|_1^e=e-e+1=1$.
$\int_1^e\frac{x-1}{e-1}dx=\left. \frac{(x-1)^2}{2(e-1)}\right|_1^e=\frac{e-1}{2}$.
Atunci aria este $1-\frac{e-1}{2}=\frac{3-e}{2}$