Question

Să se calculeze aria funcțiilor delimitate de graficele f, g
f(x)=x4,g(x)=√x
Mulțumesc anticipat!!!

Answer 1

mai   intai     calculezi   punctele    de    intersectie al   celor    2     graficce

f(x)=g(x)

x^4=√x       x≥0

Ridici   ambii  membrii    la   patrat

x^8=x

x^8-x=0

x(x^7-1)=0

x1=0

x^7-1=0

Aplici    formula  

A^n-B^n=(A-B)(A^(n-1)+A^(n-2)*B+...+B^(n-1) unde   n=7

x^7-1=0=>

(x-1)*(x^6+x^5+...+1)=0

x-1=0 x2=1

A  2-a    paranteza    e    strict    pozitiva    ca      suma     de numere   stricccccct   pozitive

Deci   ecuatia  f(x)=g(x)   are   2     solutii reale

x1=0    si    x2=1

Aria     se    calculeaza  pe   intervalul [0,1]

Pe   acest   intervall evident g(x)≥f(x)

Calculezi aria   cu     integrala

Aria A=∫[g(x)-f(x)]DX     X∈[0,1]

A=∫(√x-x^4)dx=∫√xdx-∫x^4dx=∫x^(1/2)dx+∫x^4dx

Aplici   formula

∫x^αdx=x^(α+1)/(α+1)     unde   α=1/2 in   primul   caz   si α=4 in    al    doilea   caz

A=x^(1/2+1)/[(1+1/2)]+x^(4+1)/(4+1)    x∈[0,1]==

A=x^3/2/(3/2)+x^5    x∈[0,1]

A=2/3*x^3/2+x^5

A=2/3*1^(3/2)+1^4-(0+0)=

A=2/3*1=2/3

Ridici