Question

Sa se calculeze derivate functiei f : R -> R, $f(x)=\left \{ {|x|^{|x|}, x\neq 0 } \atop {1}, x=0} \right.$
in punctul $x_{0} =0$

Answer 1

$f(x) = \begin{cases} |x|^{|x|},\quad x\neq 0 \\ 1,\quad x = 0\end{cases}\\ \\\\ \underset{x<0}{\lim\limits_{x\to 0}}\,f'(x) =\underset{x<0}{\lim\limits_{x\to 0}}\,\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \underset{x<0}{\lim\limits_{x\to 0}}\,\dfrac{(-x)^{-x}-1}{x}=\\ \\\\ y = (-x)^{-x}\\\\ \ln y = -x \ln(-x) \\\\ \dfrac{y'}{y} = -\ln(-x)-1 \\ \\ y' =-(-x)^{-x}\Big(\ln (-x) +1\Big)\\ \\ =\underset{x<0}{\lim\limits_{x\to 0}}\,\dfrac{-(-x)^{-x}\Big(\ln (-x) +1\Big)}{1} = -1\cdot (-\infty) = +\infty$

La fel se face și cealaltă limită laterală și va da $-\infty$