Question

Sa se calculeze integrala

Answer 1

Am inmultit cu 2 la început și am împărțit la 1/2 ca să scriu integrala sub altă formă

Answer 2

$\int\limits\frac{x}{x^2-2x+3}dx$

$\int\limits\frac{x}{x^2-2x+3} dx=\int\limits\frac{x-1+1}{x^2-2x+3} dx=\int\limits\frac{x-1}{x^2-2x+3} dx +\int\limits\frac{1}{x^2-2x+3}dx=$

Pentru prima integrala: u(x)=x²-2x+3

u'(x)=2x-2=2(x-1)

$\frac{1}{2} \int\limits\frac{(x^2-2x+3)'}{(x^2-2x+3}dx=\frac{1}{2} ln(x^2-2x+3)$

Pentru a doua integrala:

$\int\limits\frac{1}{x^2-2x+3}dx=\int\limits\frac{1}{(x-1)^2+(\sqrt{2})^2} }dx=\frac{1}{\sqrt{2} } arctg\frac{(x-1)}{\sqrt{2} }$

Numitorul este sub forma unei ecuatii de gradul al doilea.

Delta da negativa, asa ca am scris sub forma canonica a ecuatiei de gr.2: a(x+b/2a)+ (-Δ)/(4a)

Deci, integrala da:

$\frac{1}{2} ln(x^2-2x+3)+\frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{(x-1)}{\sqrt{2}} +C$