Question

Să se calculeze integralele folosind metoda integrării prin părți :

$1) \int x \: arcsinx \: dx \: ,x \: \in \: [-1,1]$

$2) \int x \: {(arctgx)}^{2} \: dx \: ,x \: \in \: \mathbb{R}$

$3) \int \: \frac{ {x}^{2} }{ \sqrt{ {a}^{2} + {x}^{2} } } \: dx \: ,x \: \in \: \mathbb{R^{*}}$

Answer 1

Folosim formula integrarii prin parti:

∫ f'* g= f*g- ∫ f*g'

Alegem f=x²/2 (deci f'=x) si g =(arctg x)²

∫ (x²/2) ' * (arctg x)²  dx =  x² *arctg²x/2 - 1/2∫ x²* 2 arctgx/(x²+1) dx .

2 se simplifica si ramane :  x² *arctg²x/2 - ∫  x²*arctg x/(x²+1) dx

Facem un artificiu de calcul:

= x² *arctg²x/2 - ∫ (x²+1)*arctg x/(x²+1) + ∫ arctg x/(x²+1) dx  ( am adaugat si scazut arctg x si am despartit in doua integrale).

=x² *arctg²x/2 - ∫ arctg x dx - ∫ arctg x/(x²+1) dx=

Acum hai sa rezolvam integralele separat:

∫ arctg x dx= ∫ (x')*arctg x dx= x*arctg x-∫ x/(x²+1) dx =x * arctg x-ln(x²+1)/2+C

Pentru cealalta integrala este de ajuns sa observi ca este de forma ∫ f * f' , unde f=arctg x.  Nu stiu daca iti dai seama din prima ,dar ∫ f * f'= f²/2 (se demonstreaza foarte simplu cu ajutorul integrarii prin parti).

Deci ∫ arctg x/(x²+1) dx= arctg²x/2 +C

In fine ,revenind, integrala principala este egala cu :

=  x² *arctg²x/2 - x * arctg x+ln(x²+1)/2+ arctg²x/2 +C

Evident, se poate aduce la o forma mai simpla, dar cred ca te descurci tu de aici.

Sper ca te-am ajutat.

Answer 2

......................