Matematică, întrebare adresată de PeakyBlinder, 8 ani în urmă

Sa se calculeze limita:

$\sqrt[3]{n^3+n}-n$

Se poate sa nu rationalizam?

Nustiucesapunaici: Ai putea sa te folosesti de proprietatea a -- b = a(1 -- b/a)
O sa ai caz de nedeterminare si aplici L'Hospital de cateva ori si vei ajunge la 1/infinit intr-un final

Semaka2: l`Hospital nu se aplica la siruri

abcdebygabi: :))

Razzvy: Dar daca functia are limita finita atunci orice subsir al ei converge catre acea limita, deci nu e imposibil de aplicat L'Hospital pentru functia corespunzatoare sirului.

Semaka2: Teorema lui l `Hoospital presupune derivarea nu numaratorului si a numitorului.Adica trebuie sa ai functii continue la numarator si numitor.Sirul nu e o functie continua,deci teorema nu se aplica

albastruverde12: Se referea la alegerea unei functii auxiliare pentru care sa aplice L'Hospital. Daca acea functie are limita la infinit, atunci f(x_n) va avea aceeasi limita pentru orice sir x_n cu limita infinit (in cazul de fata x_n=n).

albastruverde12: Un lucru interesant referitor la afirmatia "Sirul nu este o functie continua.":
In realitate este. Prin conventie o functie este continua in orice punct izolat al ei. In particular, functiile cu domeniul N sau Z sunt considerate continue (chiar Q am vazut).
Stiu ca pare un non-sens, dar e o conventie.
Dar ideea era de fapt "sirul nu este o functie derivabila.". Din fericire functia auxiliara este.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de abcdebygabi

Se scoate n in factor:

$\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}-1)= \lim_{n \to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n^2})^\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{n^2}} \frac{1}{n}=\frac{1}{3}*0=0$