Question

Sa se calculeze limitele sirurilor:
a)$a_{n}= \sqrt[n]{ a^{n}+ b^{n} }$ , a,b∈(0,+∞)
b)$a_{n} = \frac{sin1}{ n^{2}+1 } + \frac{sin2}{ n^{2}+2 } +...+ \frac{sin n}{ n^{2}+n }$
c)$a_{n} = \frac{1}{1+ 3^{n} } + \frac{1}{2+ 3^{n} } +...+ \frac{1}{n+ 3^{n} }$

Answer 1

Exa) caz  1   an≥bn  Aplici    criteriul    radacinii
[a^(n+1)+b^(n+1)]/(a^b+b^n)=a^(n+1)*[1+(b/a)^(n+1)]/a^n*(1+b/a)^n]=
a*(a/b)^n*(1+(b/a)^(n+1)/(1+(b/a)^n)=∞
Analog    procedezi    pt  bn>an   an→∞
b)   se   stie ca  sinx<1  
unde   x=sin1<1...sinn<1=>
an<1/(n²+1)+1/(n²+2)+...+1/(n²+n)<n/(n²+1)→0 (suma   are   n   termeni    din  care   cel   mai   mare   este 1/(n²+1)]
c)Suma    are    n   termeni    din    care    cel   mai   mare     este1/(1+3^n) si    cel   mai   mic 1/(n+3^n)=>
n/(n+3^n)<1/(1+3^n)+...+1/(n+3^n)<n/(1+3^n)
0<an<0 =>an→0