Question

sa se calculeze lungimea medianei duse din A in triunghiul ABC stiind ca AB=2, AC=3, si BC=4

Answer 1

AD este mediana, D∈BC, BD=DC
aria tr. ABC cu heron
A=√(p(p-a)(p-b)(p-c)

a=BC=4
b=AC=3
c=AB=2

p=(a+b+c)/2 = 9/2
p-a=1/2
p-b=3/2
p-c=5/2

A=√(9/2 x 1/2 x 3/2 x 5/2)
A=3√15 / 4=BC x AE/2, AE⊥BC, E∈BC, B, E, D, C coliniare in aceasta ordine, (incearca sa faci desenu ca sa respecti asta)
AE=3√15/8 
cu pitagora in tr. ABE calculam BE
BE^2=AB^2-AE^2=4-9 x 15/64

BE=11/8
ED=BD-BE=2-11/8
ED=5/8
cu pitagora in tr. AED calculam AD
AD^2=AE^2+ED^2=9 x 15/64 + 25/64
AD=2√10/4

nu am detaliat calculele pentru ca sunt prea usoare si n-are rost sa scriu aici  prea multa ''proza''
transcrie cu atentie si daca e ceva de corectat nu ezita s-o faci.

Answer 2

fie AM = mediana  si AA'⊥BC inaltime in ΔABC
daca A'M = x
AA'² = AB² -( BC-x)²  (in ΔABA')    AA'² = 4 - (2-x)²
AA'² = AC² -(BC+x)²  (in ΔAA'C)    AA'² = 9 - (2+x)²
4 -(2-x)² = 9 - (2+x)²      4 + 4x + x² - 4 + 4x - x² = 5    x = 5/8 
AA'² = 4 - (2-5/8)² = 4 - 121/64 = (256-121)/64 = 135/64    AA' = 3√15 /8 
inΔAA'M  AM² = 135/64 + 25/64 = 160/64 =5/2    AM =5√2 /2 cm