Question

Să se calculeze numărul submulțimilor cu 3 elemente ale unei mulțimi care are 7 elemente.

Answer 1

Sper că ați trecut formula pentru combinări, dacă nu, uite derivarea acesteia.

Presupunem că avem n elemente distincte și vrem să știm în câte moduri putem alege k elemente cu condiția că $1 \leq k \leq n$ și unde nu contează ordinea apariției obiectelor în alegere, adică alegerea {1, 2, 3} este echivalentă cu alegerea {2, 1, 3} și tot așa.

Presupunem că avem k spații pe care vrem să le înlocuim cu elemente din n și vrem să știm câte înlocuiri sunt posibile:

_ _ _ _ _ .... _ - k spații diferite.

La început avem n elemente, alegem unul dintre spații și ne întrebăm câte elemente putem ocupa acolo, evident răspunsul este n.

Acum avem k - 1 spații și n - 1 elemente, continuăm același joc, alegem un spațiu și ne întrebăm câte elemente pot fi înlocuite cu spațiul gol.

Observăm că vom avea următorul produs de permutații:

$n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$, dar acestea includ și rearanjări ale elementelor, dar noi nu vrem să includem acele rearanjări, deci ne întrebăm în cîte feluri putem rearanja k elemente, în exact k! - moduri.

Răspunsul nostru devine: $\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$.

Pentru a simplifica formula observăm: $\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$.

Deci formula finală este: $nC_{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Ne întoarcem la întrebarea ta, avem 7 elemente și vrem submulțimi cu cardinalitatea 3, în submulțimi ordinea nu contează, deci întrebarea se reduce la: Cîte combinații a cîte 3 elemente sunt posibile din 7?

Răspuns: $7C_{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{6 \cdot 4!} = \boxed{35}$