Question

Sa se calculeze opusul si inversul numarului complex:                                                                a). -2-i ;    b).4-3i;  c).√2-√3i ;   d). 1+i√3.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Datele problemei

Să se calculeze opusul și inversul următoarelor numere complexe:

a)  -2 - i ;    b) 4 - 3i;    c) √2 - √3i;      d) 1 +  i√3.

Observații:

Fie numărul complex z = a + bi, cu  a, b ∈ R.

• Proprietate: i² = -1.

Opusul numărului complex z este numărul complex -z = - (a + bi).

Inversul numărului complex z este numărul complex  $z^{-1}$. Inversul se calculează amplificând raportul cu conjugatul lui z.

Conjugatul numărului complex z este numărul complex a - bi.

Alte formule utile:

          $z *\bar{z} = |z|^2\\\\|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Rezolvare:

a) - 2 - i

opusul:    - (- 2 - i) = 2 + i

inversul:     $\frac{1}{-2-i} =\frac{ {^{-2 + i)}} 1}{-2-i} = \frac{-2 + i}{2^2 + 1} =\frac{-2 + i}{5}$

b) 4 - 3i

opusul:     - (4 - 3i) = -4 + 3i

inversul:   $\frac{1}{4 - 3i} = \frac{^{4+3i)}1}{4 - 3i} = \frac{4 + 3i}{4^2 + 3^2} = \frac{4 + 3i} {25}$

c) √2 - √3i

opusul:    - (√2 - √3i) = -√2 + √3i

inversul:     $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}i } = \frac{^{\sqrt{2} + \sqrt{3}i)}1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}i} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}i}{\sqrt{2}^2 + \sqrt{3} ^2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}i} {5}$

d) 1 +  i√3

opusul:     - (1 +  i√3) = - 1 -  i√3

inversul:   $\frac{1}{1 + i\sqrt{3} } = \frac{^{1 - i\sqrt{3})} 1}{1 + i\sqrt{3} } = \frac{1 - i\sqrt{3} }{1^2 + \sqrt{3}^2} = \frac{1 - i\sqrt{3} }{4}$

Succes!