Question

Sa se calculeze partea reala a numarului complex 1+4i/4+7i.

Answer 1

Răspuns:

$Re(\frac{1+4i}{4+7i}) = \frac{32}{65}$

Explicație pas cu pas

Ce se cere:

Să se calculeze partea reală a numărului complex: $\frac{1+4i}{4+7i}$ .

Rezolvare:

Observație:

Fie numărul z complex, z = a + bi, cu a și b numere reale.

a se numește partea reală a numărului z și notează cu Re(z) iar b se numește partea imaginară și se notează cu Im(z).

Avem următoarele proprietăți care ne vor ajuta în rezolvarea exercițiului:

• $i^2 = -1$;

• Numărul $\bar{z}$ se numește z conjugat și este egal cu a-bi;

• $z*\bar{z} = |z|^2$ ;

• $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ;

• $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 * \bar{z_2}}{z_2 * \bar{z_2}}$    unde $z_1, \ z_2$  sunt două numere complexe.

Ținând cont de aceste proprietăți, obținem:

$\frac{1+4i}{4+7i} = \frac{(1+4i)(4-7i)}{(4+7i)(4-7i)} =\frac{4-7i+16i+28}{4^2 + 7^2} =\frac{32 + 9i}{16 + 49} =\frac{32 + 9i}{65} = \frac{32}{65} + \frac{9}{65} i\\\\=> Re(\frac{1+4i}{4+7i}) = \frac{32}{65}$

Succes!