Question

sa se calculeze suma 1*3+2*3^2+3*3^3+....+n*3^n

Answer 1

Se  aplica  formula  sumei  unei  progresii  geometrice
Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)  unde  a1  este  primul  termen,n numarul de  termeni, q=  ratia
S1=3+3²+3³+...+3^n=3*(3^n-1)/(3-1)=[3^(n+1)-3]/2
S2=3²+3³+...+3^n=3²[3^(n-1)-1]/(3-1)=[3^(n+1)-3²]/2
S3=3³+...+3^n=3³[3^(n-2)-1]/)3-1)=[3^(n+1)-3³]/2
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Sn-1=3^(n-1)+3^n=3^(n-1)*[3²-1]/(3-1)=(3^(n+1)-3^(n-1))/2
S1+s2+...+Sn-1=[(3^(n+1)-3]/2+[3^(n+1)-3²]/2+[3^(n+1)-3³]/2+...+[3^(n+1)-3^(n-1)]/2=
1/2*[(3^(n+1)+3^(n+1)+...+3^(n+1))-(3+3²+3³+...+3^n)]= fiecare  paranteza  ratunda  are  n  termeni=
1/2[n*3^(n+1)-3*[3^(n)-3]/(3-1)=
1/2*[n*3^(n+1)-(3^(n+1)-3)/2]
1/2[2*n*3^(n+1)-3^(n+1)+3]